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27.5.32.
Ich kann die Regel R

auch so schreiben:

oder auch so:
a + (b + 1) = (a + b) + 1, wenn ich R oder S als Erklärung oder Ersatz für diese Form nehme.
     Wenn ich nun sage, in

     seien die Übergänge durch die Regel R gerechtfertigt, — so kann man mir drauf antworten: „Wenn Du das eine Rechtfertigung nennst, so hast Du die Übergänge gerechtfertigt. Du hättest uns aber ebensoviel gesagt, wenn Du uns nur auf die Regel R & ihre formale Beziehung zu α (oder zu α, β & γ) aufmerksam gemacht hättest.”      Ich hätte also auch sagen können: Ich nehme die Regel R in der & der Weise als Paradigma meiner Übergänge.      Wenn nun Skolem etwa nach seinem Beweis für das assoziative Gesetz übergeht zu:



& sagt der erste & dritte Übergang in der dritten Zeile seien nach dem bewiesenen assoziativen Gesetz gerechtfertigt, — so sagt er uns damit nicht mehr als| erfahren wir damit nicht mehr, als … wenn er sagte, die Übergänge seien nach dem Paradigma a + (b + c) = (a + b) + c gemacht ( d.h. sie entsprechen dem Paradigma) & es sei ein Schema α, β, γ mit Übergängen nach dem Paradigma α abgeleitet. — „Aber rechtfertigt B nun diese Übergänge oder nicht?” — Was meinst Du mit dem Wort „rechtfertigen”? — „Nun, der Übergang ist gerechtfertigt, wenn wirklich ein Satz, der für alle Zahlen gilt, bewiesen ist.” — Aber in welchem Falle wäre das geschehen? Was nennst Du einen Beweis davon, daß ein Satz für alle Zahlen| Kardinalzahlen gültig ist? Wie weißt Du ob der Satz (wirklich) für alle Kardinalzahlen gültig ist, da Du es nicht ausprobieren kannst. Dein einziges Kriterium ist ja der Beweis. Du bestimmst also wohl eine Form & nennst sie die, des Beweises, daß ein Satz für alle Kardinalzahlen gilt. Dann haben wir eigentlich gar nichts davon, daß uns zuerst die allgemeine Form dieser Beweise gezeigt wird; da ja dadurch nicht gezeigt wird, daß nun der besondere Beweis wirklich das leistet, was wir von ihm verlangen; ich meine: da hiedurch der besondere Beweis nicht als einer gerechtfertigt, erwiesen ist, der einen Satz für alle Kardinalzahlen beweist. Der rekursive Beweis muß vielmehr seine eigene Rechtfertigung sein. Wenn wir unsern Beweisvorgang wirklich als den Beweis einer solchen

Allgemeinheit rechtfertigen wollen tun wir vielmehr etwas anderes: wir gehen Beispiele einer Reihe durch & diese Beispiele & das Gesetz was wir in ihnen erkennen befriedigt uns nun & wir sagen: ja, unser Beweis leistet wirklich was wir wollten. Aber wir müssen nun bedenken, daß wir mit der Angabe dieser Beispielreihe die Schreibweise B & C nur in eine andere (Schreibweise) übersetzt haben. (Denn die Beispielreihe ist nicht die unvollständige Anwendung der allgemeinen Form, sondern ein anderer Ausdruck dieser Form | [des Gesetzes].) Und weil die Wortsprache wenn sie den Beweis erklärt, erklärt was er beweist, den Beweis nur in eine andere Ausdrucksform übersetzt, so können wir diese Erklärung auch ganz weglassen. Und wenn wir das tun so werden die mathematischen Verhältnisse viel klarer, nicht verwischt durch die mehrdeutigen| [vieles bedeutenden] Ausdrücke der Wortsprache. Wenn ich z.B. B unmittelbar neben A setze, ohne Dazwischenkunft des Wortes „alle” | [ohne Vermittlung durch den Ausdruck der Wortsprache „für alle Kardinalzahlen etc.”], so kann kein falscher Schein eines Beweises von A durch B entstehen. Wir sehen dann ganz nüchtern wie weit die Beziehungen von B zu A & zu a + b = b + a reichen & wo sie aufhören. | [Wir sehen dann die nüchternen, (nackten) Beziehungen zwischen A & B, & wie weit sie reichen.] Man lernt so erst, unbeirrt von

der alles gleichmachenden Form der Wortsprache die eigentliche Struktur dieser Beziehung kennen & was es mit ihr auf sich hat.
     Man sieht hier vor allem, daß wir in| an dem Baum der Strukturen B, C, etc. interessiert sind, & daß an ihm zwar allenthalben die Form
ϕ 1 = ψ 1
ϕ (n + 1) = F (ϕ n)
ψ (n + 1) = F (ϕ n)
zu sehen ist, gleichsam eine bestimmte Astgabelung, daß aber diese Gebilde in verschiedenen Anordnungen & Verbindungen untereinander auftreten & daß sie nicht in dem Sinne Konstruktionselemente bilden| sind, wie die Paradigmen im Beweis, von a + (b + (c + 1)) = (a + (b + c)) + 1 oder (a + b)² = a² + 2ab + b². oder (a + b)² = a² + 2ab + b². Der Zweck der „rekursiven Beweise” ist ja, den algebraischen Kalkül mit dem der Zahlen in Verbindung zu setzen. Und der Baum der rekursiven Beweise „rechtfertigt” den algebraischen Kalkül nur, wenn das heißen soll, daß er ihn mit dem arithmetischen in Verbindung bringt. Nicht aber in dem Sinn in welchem die Liste der Paradigmen den algebraischen Kalkül, d.h. die Übergänge in ihm, rechtfertigt. Wenn man also die Paradigmen der Übergänge tabuliert so hat das dort Sinn wo das Interesse darin liegt zu zeigen daß die & die Transformationen alle bloß mit Hilfe jener — im übrigen willkürlich gewählten —

Übergangsformen zu Stande gebracht sind. Nicht aber dort, wo sich die Rechnung in einem andern Sinne rechtfertigen soll wo also das Anschauen der Rechnung — ganz abgesehen von dem Vergleich mit einer Tabelle vorher festgelegter Normen — uns lehren muß ob wir sie zulassen sollen oder nicht. Skolem hätte uns also keinen Beweis des assoziativen & kommutativen Gesetzes versprechen brauchen| sollen sondern einfach sagen können, er werde uns einen Zusammenhang der Paradigmen der Algebra mit den Rechnungsregeln der Arithmetik zeigen. Aber ist das nicht Wortklauberei? hat er denn nicht die Zahl der Paradigmen reduziert & uns z.B. statt jener beiden Gesetze eines, nämlich a + (b + 1) = (a + b) + 1 gegeben? Nein. Wenn wir z.B. (a + b)4 = etc. (k beweisen so könnten wir dabei von dem vorher bewiesenen Satz (a + b)² = etc. (l Gebrauch machen. Aber in diesem Fall lassen sich die Übergänge in k die durch l gerechtfertigt wurden auch durch jene Regeln rechtfertigen mit denen l bewiesen wurde. Und es verhält sich dann l zu jenen ersten Regeln wie ein durch Definition eingeführtes Zeichen zu den primären Zeichen mit deren Hilfe es definiert wurde. Man kann die Definition immer auch eliminieren & auf die primären Zeichen übergehen. Wenn wir aber in C einen Übergang machen der durch B gerechtfertigt ist so können wir diesen Übergang

nun nicht auch mit a + (b + 1) = (a + b) + 1 allein machen. Wir haben eben mit dem was hier Beweis genannt wird nicht einen Schritt| Übergang in Stufen zerlegt, sondern etwas ganz andres getan.