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Soll ich nun den Satz alle diese Stäbe haben die gleiche Länge so schreiben: „Es gibt eine Länge welche alle diese Stäbe haben”? also:
     
(∃L): φx . ⊃ x.x εL
Aber müßte dann nicht auch der Satz (∃L) aεL einen Sinn haben: also || ; also: „a hat eine Länge”?
→ Hier ist ein Fehler in der Auffassung. Das heißt ich kann natürlich (∃L): φx ⊃ x x ε L schreiben wenn || solange ich nur weiß daß hier die Regel gilt daß (∃L) a ε L sinnlos ist. Nur ist diese Notation in diesem Fall leicht irreführend. – „Eine Länge haben”, „einen Vater haben”. Wir haben hier den Fall den wir in der gewöhnlichen Sprache oft ausdrücken in dem wir sagen: Nehmen wir an a habe die Länge L, dann || „Wenn a die
Länge 𝓁 hat so
haben alle anderen „Stäbe auch die Länge 𝓁.” Aber hier hätte auch der Satz „a hat die Länge 𝓁” gar keinen Sinn; oder doch nicht als Aussage über a. Wir sagen aber auch „nennen wir die Länge von a „𝓁” ….” – Zu sagen die beiden Stäbe haben eine || die gleiche Länge” sagt über die Länge jedes Stabes überhaupt nichts aus denn er sagt auch nicht „daß jeder eine Länge hat”. Der Fall hat also gar keine Ähnlichkeit mit dem: „A & B, haben den gleichen Vater”
& der Vater von A & B ist N” wo ich einfach für die allgemeine Bezeichnung den Eigennamen einsetze. 5 m ist aber nicht der Name der betreffenden Länge von der zuerst nur gesagt wurde daß a & b sie beide besitzen. – Noch anders wird es wenn es sich um Längen im Gesichtsfeld handelt. Hier können wir auch sagen dieser Strich & jener haben die gleiche Länge, aber wir könnten diese Länge gar nicht mit einer Zahl „benennen”. Denken wir wieder an den Satz „in den beiden Kisten sind gleichviel
Äpfel”. Auch dieser Satz kann nicht geschrieben werden „es gibt eine Zahl welche die Zahl der Äpfel in beiden Kisten ist” weil man nicht sagen dürfte „es gibt eine Zahl welche die Zahl der Äpfel in dieser Kiste ist”. Freilich hängt der Satz mit der Reihe
ε(1x) φx ∙ ε(1x) ψx
ε(2x) φx ∙ ε(2x) ψx
ε(3x) φx ∙ ε(3x) ψx
u.s.w.
zusammen. Aber er ist nicht ein Satz dieser Form & auch nicht einer der
diesen Sätzen insofern ähnlich wäre, als die spezielle Zahl mit ihm durch eine Variable ersetzt würde, denn diese Ersetzung in einem der beiden Sätze vorgenommen ergäbe Unsinn. Eben könnte man versucht sein den Satz so zu schreiben

(ε x) φx ∙ (εx) ψx & das zeigt deutlich daß wir es hier nicht mehr mit einem logischen Produkt zu tun haben (ähnlich wie der Differentialquotient kein Quotient ist). Und wie man dieses auch
so schreiben kann daß er jeden Schein des Quotienten verliert, so auch unsern Satz so daß er jeden Schein des logischen Produkts verliert. Schreiben wir ihn etwa:
      Z (φ(Z), ψ(Z)).
(Was uns hier stört ist die ganz unnötige Subjekt-
Prädikat
-Form. Wir sagen doch nie a ist ein Apfel) Es gilt dann natürlich für Z (φ Z, ψ Z) die Regel daß
Z (φ Z, ψ Z) ∙ (ε1 x) φx ∙ (ε 1 x) ψ x ¤ = (ε 1 x) φx ∙ (ε 1 x) ψ x = = Z (φ Z, ψ Z) ∙ (ε 1 x) φx =
= Z (φ Z ψZ) ∙ (ε 1 x) ψ x
     u.s.w. in der Reihe der Kardinalzahlen.